ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65479
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Неравенство Коши ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Решите в натуральных числах уравнение:  x³ + y³ + 1 = 3xy.


Решение

  Первый способ. Поскольку  x > 0  и  y > 0,  то согласно неравенству Коши     ⇔  x³ + y³ + 1 ≥ 3xy,  причём равенство достигается тогда и только тогда, когда  x = y = 1.

  Второй способ. Если перенести 3xy в левую часть и заменить 1 на z, то уравнение примет вид  x³ + y³ + z³ – 3xyz = 0.  Согласно задаче 61105 г) левая часть равна  (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – xz – yz).
  Так как x, y и z – натуральные числа, то нулю может быть равен только второй множитель.
x² + y² + z² – xyxzyz = 0  ⇔  2x² + 2y² + 2z² – 2xy – 2xz – 2yz = 0  ⇔  (xy)² + (yz)² + (zx)² = 0.  Значит,  x = y = z = 1.

  Третий способ. Уравнение можно записать в виде
(x + y)((x + y)² – 3xy) + 1 = 3xy  ⇔  ((x + y)³ + 1) – 3xy(x + y) – 3xy = 0  ⇔  (x + y + 1)((x + y)² – (x + y) + 1 – 3xy) = 0.
  Так как х и у – натуральные числа, то  x + y + 1 > 0,  следовательно,  (x + y)² – (x + y) + 1 – 3xy = 0.
  Заметим, что  (x + y)² ≥ 4ху,  поэтому  4ху – (x + y) + 1 – 3xy ≤ 0  ⇔  ху – x – y + 1 ≤ 0  ⇔  (x – 1)(y – 1) ≤ 0.  Для натуральных х и у полученное неравенство выполняется тогда и только тогда, когда  х = 1  или  у = 1.

  Подставив  y = 1  в исходное уравнение, получим:  x³ – 3x + 2 = 0  ⇔  (x – 1)(x² + x – 2) = 0  ⇔  (x – 1)²(x + 2) = 0.  Последнее уравнение имеет единственный натуральный корень:  х = 1.
  Так как исходное уравнение симметрично относительно х и y,  то при подстановке в него  х = 1  получим, что  y = 1.

  Четвёртый способ. Так как исходное уравнение симметрично относительно х и y, то достаточно рассмотреть случай  х ≥ y.
  Запишем уравнение в виде  (x³ – 3xy) + (y³ + 1) = 0.  Так как y – натуральное число, то  y³ + 1 > 0.  Значит,  x³ – 3xy = x(x² – 3y) < 0.  Следовательно,
x² – 3y < 0  (x – натуральное). Учитывая, что  х ≥ y,  то есть –3x ≤ –3y,  получим:  x² – 3x < 0.  Таким образом, x < 3.
  Это означает, что достаточно проверить три случая:
    1)  x = y = 2  – не является решением;
    2)  x = 2,  y = 1  – не является решением;
    3)  x = y = 1  – является решением.


Ответ

(1, 1).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2015/16
класс
Класс 11
задача
Номер 11.2.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .