Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]

Задача 67565

Темы:	[	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры	]
Темы:	[	Правильная пирамида	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Авторы: Алкин Э., Скопенков А.Б.

Можно ли взять в пространстве шесть точек $A_1$, ..., $A_6$ общего положения так, чтобы треугольники $A_1A_2A_3$ и $A_4A_5A_6$ были зацеплены, а два треугольника, соответствующие любому другому разбиению данных точек на две тройки, – нет?

Два треугольника в пространстве зацеплены, если контур одного пересекает внутренность другого в единственной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 67567

Темы:	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Теория вероятностей (прочее)	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Бельский К.

Внутри равностороннего треугольника $ABC$ выбирается случайная точка $P$. Найдите вероятность того, что из отрезков $AP$, $BP$, $CP$ можно сложить остроугольный треугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 67563

Темы:	[	Параллелограмм Вариньона	]
Темы:	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Богданов И.И.

В выпуклый четырехугольник $ABCD$ вписаны два параллелограмма $KL_1M_1N_1$ и $KL_2M_2N_2$ так, что $K$ – середина $AB$, а $L_1$, $M_1$, $N_1$ и $L_2$, $M_2$, $N_2$ лежат на сторонах $BC$, $CD$, $DA$ соответственно. Может ли оказаться, что площадь одного параллелограмма меньше половины площади четырехугольника, а площадь другого больше?

Прислать комментарий Решение

Задача 67568

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Щербатов Я.

Даны окружности $\Omega$ и $\omega_a$, являющиеся соответственно описанной и $A-$вневписанной для некоторого треугольника $ABC$. Пусть $I_b$, $I_c$ – центры двух других вневписанных окружностей, а $A_b$, $A_c$ – точки касания продолжений сторон $AB$, $AC$ с $\omega_a$. Докажите, что точка пересечения прямых $A_bI_b$ и $A_cI_c$ не зависит от треугольника $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67570

Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее)	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Бельский К.

Дан остроугольный треугольник $ABC$ и прямая $\ell$, которая пересекает стороны $AB$, $AC$ и прямую $BC$ в точках $C_1$, $B_1$, $A_1$ соответственно. Окружность $\omega_a$ касается прямой $BC$ в точке $A_1$ и меньшей дуги $BC$ описанной окружности треугольника $ABC$. Аналогично определяются окружности $\omega_b$, $\omega_c$. Докажите, что у окружностей $\omega_a$, $\omega_b$, $\omega_c$ есть общая касательная.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]