|
|
 |
Условие
Дан остроугольный треугольник $ABC$ и прямая $\ell$, которая пересекает стороны $AB$, $AC$ и прямую $BC$ в точках $C_1$, $B_1$, $A_1$ соответственно. Окружность $\omega_a$ касается прямой $BC$ в точке $A_1$ и меньшей дуги $BC$ описанной окружности треугольника $ABC$. Аналогично определяются окружности $\omega_b$, $\omega_c$. Докажите, что у окружностей $\omega_a$, $\omega_b$, $\omega_c$ есть общая касательная.Решение
Пусть $A_2$, $B_2$, $C_2$ – точки касания окружности $(ABC)$ с $\omega_a$, $\omega_b$, $\omega_c$ соответственно. Тогда из леммы Архимеда и основного свойства биссектрисы получаем, что $\frac{BC_1}{AC_1} = \frac{BC_2}{AC_2}$. По синусной теореме Чевы и условию теоремы Менелая для прямой $\ell$ легко видеть, что прямые $AA_2$, $BB_2$, $CC_2$ пересекаются в одной точке. Сделаем инверсию с центром в точке $A$. Получим следующую задачу.Окружность $\omega_b$ касается прямых $AC$, $BC$ в точках $B_1$, $B_2$, а окружность $\omega_c$ касается прямых $AB$, $BC$ в точках $C_1$, $C_2$ соответственно. Точка $A_2$ на $BC$ такова, что $A_2C \cdot A_2C_2 = A_2B \cdot A_2B_2$. Надо доказать, что существует окружность, которая касается окружностей $\omega_a$, $\omega_b$, $\omega_c$ и проходит через точку $A$.
Проведем окружность $\omega$, которая проходит через $A$ и касается окружностей $\omega_b$ и $\omega_c$ внутренним образом. Будем доказывать, что окружности $\omega$ и $\omega_a$ касаются. Пусть $\omega$ пересекает $BC$ в точках $X$ и $Y$. Пусть $I_1$ и $I_2$ – центры вписанных окружностей треугольников $AXY$ и $ABC$. По лемме Саваямы получаем, что прямые $B_1B_2$ и $C_1C_2$ пересекаются в точке $I_1$. Тогда треугольники $BI_2C$ и $B_2I_1C_2$ гомотетичны. Откуда следует, что точка $A_2$ лежит на прямой $I_1I_2$. Осталось только применить обратную лемму Саваямы для одной из касательных из точки $A$ к $\omega_a$ и прямой $BC$.
