Условие
Внутри равностороннего треугольника $ABC$ выбирается случайная точка $P$. Найдите вероятность того, что из отрезков $AP$, $BP$, $CP$ можно сложить остроугольный треугольник.
Решение
Рассмотрим поворот на $\pi/3$ вокруг точки $C$, переводящий $A$ в $B$, а $P$ в точку $Q$. Имеем $BQ=AP$, $PQ=CP$ (поскольку треугольник $CPQ$ правильный), следовательно, стороны треугольника $PBQ$ равны отрезкам $AP$, $BP$, $CP$. При этом $\angle PQB=\angle CQB-\pi/3=\angle CPA-\pi/3$. Аналогично два других угла равны $\angle APB-\pi/3$ и $\angle BPC-\pi/3$. Таким образом, треугольник будет остроугольным тогда и только тогда, когда все стороны треугольника $ABC$ видны из $P$ под углами, меньшими $5\pi/6$.
Пусть $A'$, $B'$, $C'$ – точки, симметричные $A$, $B$, $C$ относительно противоположных сторон треугольника $ABC$. Тогда сторона $AB$ видна под углом $5\pi/6$ из точек дуги с центром $C'$ и радиусом $C'A=AB$. Эта дуга и две аналогичные, построенные для других сторон, попарно касаются в вершинах треугольника $ABC$. Поэтому площадь криволинейного треугольника, ограниченного этими дугами, равна разности площади треугольника $A'B'C'$ и утроенной площади кругового сектора с радиусом $AB$ и углом $\pi/3$, т.е. $\sqrt{3}-\pi/2$ (если $AB=1$). Разделив на площадь треугольника $ABC$, получим искомую вероятность.
Ответ
$4-\frac{2\pi}{\sqrt{3}}$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2025 |
|
класс |
|
Класс |
10 |
|
задача |
|
Номер |
10.5 |
