Задача 67563

Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ] [ Неравенства с площадями ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Богданов И.И.

В выпуклый четырехугольник $ABCD$ вписаны два параллелограмма $KL_1M_1N_1$ и $KL_2M_2N_2$ так, что $K$ – середина $AB$, а $L_1$, $M_1$, $N_1$ и $L_2$, $M_2$, $N_2$ лежат на сторонах $BC$, $CD$, $DA$ соответственно. Может ли оказаться, что площадь одного параллелограмма меньше половины площади четырехугольника, а площадь другого больше?

Решение

Пусть $\angle A+\angle B < \pi$. Зафиксируем произвольный параллелограмм $KLMN$ такой, что $N$ лежит на отрезке $AP$, $L$ на отрезке $BP$, а $M$ внутри треугольника $ABP$, где $P$ – точка пересечения прямых $AD$ и $BC$. Пусть произвольная прямая, проходящая через $M$, пересекает отрезки $BP$, $AP$ в точках $C'$, $D'$ соответственно.

Известно, что треугольник $PC'D'$ имеет наименьшую площадь, когда $M$ – середина $C'D'$. В этом случае $KLMN$ – параллелограмм Вариньона четырехугольника $ABC'D'$ и его площадь равна половине площади этого четырехугольника. Таким образом, площади обоих параллелограммов $KL_1M_1N_1$ и $KL_2M_2N_2$ не меньше половины площади четырехугольника $ABCD$.

Аналогично получаем, что при $\angle A+\angle B>\pi$ площади обоих параллелограммов не больше половины площади четырехугольника. Наконец, при $AD\parallel BC$ площади обоих параллелограммов равны половине площади четырехугольника.

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2025
класс
Класс	10
задача
Номер	10.1