Условие
Даны окружности $\Omega$ и $\omega_a$, являющиеся соответственно описанной и $A-$вневписанной для некоторого треугольника $ABC$. Пусть $I_b$, $I_c$ – центры двух других вневписанных окружностей, а $A_b$, $A_c$ – точки касания продолжений сторон $AB$, $AC$ с $\omega_a$. Докажите, что точка пересечения прямых $A_bI_b$ и $A_cI_c$ не зависит от треугольника $ABC$.
Решение
Пусть окружности $\Omega$ и $\omega_a$ пересекаются в точках $P$ и $Q$, а прямые $PQ$ и $AB$ в точке $X$. Так как $PQ$ – радикальная ось окружностей $\Omega$ и $\omega_a$, а $AB$ – радикальная ось окружностей $\Omega$ и $I_bABI_a$, точка $X$ лежит на радикальной оси окружности $\omega_a$ и окружности с диаметром $I_bI_a$, т.е. на поляре точки $I_b$ относительно $\omega_a$. Таким образом, поляры относительно $\omega_a$ точек $A_b$ и $I_b$ пересекаются на прямой $PQ$, а значит, прямая $I_bA_b$ проходит через точку $Y$ пересечения касательных к $\omega_a$ в точках $P$, $Q$. Аналогично $A_cI_c$ проходит через точку $Y$, которая, очевидно, не зависит от треугольника $ABC$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2025 |
|
класс |
|
Класс |
10 |
|
задача |
|
Номер |
10.6 |
