Страница:
<< 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 367]
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
|
Какое наибольшее число королей можно расставить на шахматной доске так, чтобы никакие два из них не били друг друга?
Подсказка
Если в квадрате из четырёх клеток находятся два короля, то они бьют друг друга.
Решение
Разобьём доску на 16 квадратов 2×2.
Оценка. В каждом из этих 16 квадратов может стоять не более одного короля.
Пример. Поставим по королю в левый нижний угол каждого из 16 квадратов.
Ответ
16 королей.
При установке кодового замка каждой из 26 латинских букв, расположенных на его клавиатуре, сопоставляется произвольное натуральное число, известное лишь обладателю замка. Разным буквам сопоставляются не обязательно разные числа. После набора произвольной комбинации попарно различных букв происходит суммирование числовых значений, соответствующих набранным буквам. Замок открывается, если сумма делится на 26. Докажите, что для любых числовых значений букв существует комбинация, открывающая замок.
Подсказка
Докажите, что искомая комбинация может быть найдена как несколько последовательных букв алфавита.
Решение
Обозначим через S(n) остаток от деления на 26 суммы чисел, которые соответствуют первым n буквам алфавита (n = 1, 2, ..., 26). Если среди чисел S(1), S(2), ..., S(26) есть нуль: S(t) = 0, то искомой ключевой комбинацией является цепочка первых t букв алфавита. Если среди чисел S(1), S(2), ..., S(26) нет нуля, то найдутся два одинаковых числа: S(k) = S(m) (считаем, что k < m). Тогда искомой ключевой комбинацией является участок алфавита, начинающийся с (k+1)-й и заканчивающийся m-й буквой.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
|
Из чисел 1, 2, ... , 49, 50 выбрали 26 чисел. Обязательно ли
среди них найдутся два числа, отличающиеся друг от друга на 1?
Подсказка
Разделите все числа на пары соседних.
Решение
Разделим все числа на 25 пар соседних: 1-2, 3-4, ... , 49-50.
Если бы из каждой пары было выбрано не более одного числа, то всего
было бы выбрано не более 25 чисел. Но по условию выбрано 26 чисел.
Это означает, что для какой-то пары оба числа из этой пары оказались
выбранными. Эти числа и составляют искомую пару выбранных чисел,
отличающихся на 1.
Ответ
обязательно.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
|
В волейбольном турнире команды играют друг с другом по одному матчу. За победу дается одно очко, за поражение – ноль. Известно, что в один из моментов турнира все команды имели разное количество очков. Сколько очков набрала в конце турнира предпоследняя команда, и как она сыграла с победителем?
Решение
Пусть в турнире участвуют n команд. Тогда разыгрывается ½ n(n – 1) очков. Команды могли набрать разное количество очков (0, 1, ..., n – 1) лишь после окончания турнира. Поэтому предпоследняя команда набрала 1 очко и проиграла победителю.
Ответ
1 очко; проиграла.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
|
В классе 33 ученика, всем вместе 430 лет.
Докажите, что если выбрать 20 самых старших из них, то им вместе будет не меньше, чем 260 лет. (Возраст любого ученика – целое число.)
Решение
Суммарный возраст "старшей" группы не меньше чем 20/33·430 = 260,6... лет.
Страница:
<< 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 367]
Фильтр
