Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
Назовём точку на плоскости узлом, если обе её координаты целые числа. Дан треугольник с вершинами в узлах, внутри него расположено не меньше двух узлов. Докажите, что среди узлов внутри треугольника можно выбрать такие два узла, что проходящая через них прямая содержит одну из вершин треугольника или параллельна одной из сторон треугольника.
РешениеНа клетчатой бумаге начерчена замкнутая ломаная с вершинами в узлах сетки, все
звенья которой равны.
Доказать, что число звеньев такой ломаной чётно.
РешениеПлоскость разбита тремя сериями параллельных прямых на равные между собой
равносторонние треугольники.
Существуют ли четыре вершины этих треугольников, образующие квадрат?
РешениеДан прямоугольный биллиард размером 26×1965 (сторона длины 1965 направлена слева направо, а сторона длины 26 – сверху вниз; лузы расположены в вершинах прямоугольника). Из нижней левой лузы под углом 45° к бортам выпускается шар. Доказать, что после нескольких отражений от бортов он упадет в верхнюю левую лузу. (Угол падения равен углу отражения.)
РешениеМожно ли нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки?
Решение
|
|
|
Условие
Дан прямоугольный биллиард размером 26×1965 (сторона длины 1965 направлена слева направо, а сторона длины 26 – сверху вниз; лузы расположены в вершинах прямоугольника). Из нижней левой лузы под углом 45° к бортам выпускается шар. Доказать, что после нескольких отражений от бортов он упадет в верхнюю левую лузу. (Угол падения равен углу отражения.)
Решение
Заменим отражение траектории шара отражением биллиарда. Тогда шар будет двигаться по прямой y = x в плоскости, разрезанной на прямоугольники 26×1965. Лузы соответствуют точкам с координатами (1995m, 26n). В силу взаимной простоты чисел 1995 и 26 шар попадёт в лузу, соответствующую точке (1995·26, 26·1995). Осталось заметить, что верхней левой лузе соответствуют при отражениях точки (1995m, 26n), где m чётно, а n нечётно.
