|
|
 |
Условие
Дан прямоугольный биллиард размером 26×1965 (сторона длины 1965 направлена слева направо, а сторона длины 26 – сверху вниз; лузы расположены в вершинах прямоугольника). Из нижней левой лузы под углом 45° к бортам выпускается шар. Доказать, что после нескольких отражений от бортов он упадет в верхнюю левую лузу. (Угол падения равен углу отражения.)
Решение
Заменим отражение траектории шара отражением биллиарда. Тогда шар будет двигаться по прямой y = x в плоскости, разрезанной на прямоугольники 26×1965. Лузы соответствуют точкам с координатами (1995m, 26n). В силу взаимной простоты чисел 1995 и 26 шар попадёт в лузу, соответствующую точке (1995·26, 26·1995). Осталось заметить, что верхней левой лузе соответствуют при отражениях точки (1995m, 26n), где m чётно, а n нечётно.
