ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78540
Темы:    [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На клетчатой бумаге начерчена замкнутая ломаная с вершинами в узлах сетки, все звенья которой равны.
Доказать, что число звеньев такой ломаной чётно.


Решение

  Предположим, что существует замкнутая ломаная A1...An с нечётным числом звеньев равной длины c, все вершины которой лежат в узлах целочисленной решётки. Пусть ai и bi – координаты проекций вектора    на горизонтальную и вертикальную оси. Тогда    поэтому c² при делении на 4 даёт остаток 0, 1 или 2.
  Если c² делится на 4, то ai и bi чётны. Поэтому при гомотетии с центром A1 и коэффициентом ½ наша ломаная перейдёт в ломаную с меньшей длиной звена, вершины которой по-прежнему лежат в узлах решётки. После нескольких таких операций придём к ломаной, у которой c² не делится на 4. Разберём оставшиеся варианты, предварительно заметив, что   a1 + ... + am = b1 + ... + bm = 0.
  1)  c² ≡ 2 (mod 4).  Тогда числа ai и bi нечётны, поэтому число   a1 + ... + am  нечётно и не может равняться нулю. Противоречие.
  2)   c² ≡ 1 (mod 4).  Тогда одно из чисел ai и bi нечётно, а другое чётно, поэтому число  a1 + ... + am + b1 + ... + bm  нечётно и не может равняться нулю. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 27
Год 1964
вариант
1
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .