|
|
 |
Условие
Плоскость разбита тремя сериями параллельных прямых на равные между собой
равносторонние треугольники.
Существуют ли четыре вершины этих треугольников, образующие квадрат?
Решение 1
Пусть OABC – такой квадрат. Рассмотрим систему координат, где ось Ox идёт вдоль стороны треугольника (но не вдоль стороны квадрата), а единица равна стороне треугольника. Тогда абсциссы вершин A и C рациональны, а ординаты иррациональны. Но абсцисса A по модулю равна ординате C. Противоречие.
Решение 2
Пусть ABCD – квадрат, образованный какими-то четырьмя вершинами. Построим на AB равносторонний треугольник ABE так, чтобы вершина E лежала внутри квадрата. Поскольку точка E получена из B поворотом на 60° вокруг A, она тоже является вершиной. Аналогично построим вовнутрь квадрата треугольники BCF, CDG и DAH; очевидно, точки E, F, G, H образуют квадрат, сторона, которого меньше AB в определенное число раз. Повторив эту конструкцию еще раз, получим еще один квадрат с вершинами в точках сетки, сторона которого меньше EF в то же число раз, и т. д. Но сторона квадрата не может быть меньше чем сторона треугольника. Противоречие.
Ответ
Не существуют.
Замечания
3 балла
