Задача 32895

Темы:    [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Параллельный перенос ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Полянский А.

Назовём точку на плоскости узлом, если обе её координаты целые числа. Дан треугольник с вершинами в узлах, внутри него расположено не меньше двух узлов. Докажите, что среди узлов внутри треугольника можно выбрать такие два узла, что проходящая через них прямая содержит одну из вершин треугольника или параллельна одной из сторон треугольника.

Решение 1

  Обозначим через A₁, B₁, C₁ соответственно середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC. Возьмём два произвольных узла X и Y внутри треугольника. Пусть один из них лежит вне треугольника A₁B₁C₁, например, X лежит внутри треугольника AB₁C₁. Построим отрезок AW, серединой которого является точка X. Тогда W – также узел, он находится внутри ABC, и прямая XW проходит через A.
  Пусть теперь оба узла X и Y принадлежат треугольнику A₁B₁C₁. Если прямая XY параллельна одной из сторон треугольника, все в порядке. В противном случае применим лемму из решения задачи 32889 к треугольнику A₁B₁C₁. Пусть, например, конец Z₁ отрезка A₁Z₁, равного и параллельного XY, лежит внутри треугольника A₁B₁C₁. Тогда отрезок AZ, симметричный A₁Z₁ относительно середины B₁C₁, также равен и параллелен XY. Поэтому Z – узел, лежащий внутри AB₁C₁. Как показано выше, на прямой AZ есть ещё один узел.

Решение 2

  Рассмотрим данный треугольник ABC и узлы X и Z внутри него. Через X проведём три прямые, параллельные сторонам треугольника. Таким образом, треугольник ABC разбивается на три треугольника и три параллелограмма (см. рис.).

  1) Если Z лежит на одной из трёх прямых, то прямая XZ параллельна одной из сторон по построению.

  2) Пусть Z лежит в одном из параллелограммов. Проведём через Z три прямые, параллельные сторонам треугольника. Тогда X относительно Z лежит в одном из трёх полученных треугольников. Заменой обозначений X и Z приходим к следующему случаю.

  3) Допустим, Z лежит внутри одного из треугольников, скажем, TRX. Обозначим точку пересечения CX и AB буквой S и разберём два случая.
  3а)  CX ≥ XS.  Тогда обе точки     и     лежат внутри ABC. Эти точки являются узлами, так что пара  (Z', Z'')  – искомая.
  3б)  CX < XS.  Тогда узел     лежит внутри треугольника ABC, и подходит пара узлов  (X, Y).

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2013
Номер	76
класс
Класс	9
задача
Номер	5
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2012/13
Номер	34
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер	3