Страница: 1 [Всего задач: 4]
Задача
78568
(#1)
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10
|
Дана последовательность
...,
a-n,...,
a-1,
a0,
a1,...,
an,...
бесконечная в обе стороны, причём каждый её член равен
![$ {\frac{1}{4}}$](show_document.php?id=1060654)
суммы
двух соседних. Доказать, что если какие-то два её члена равны, то в ней есть
бесконечное число пар равных между собой чисел. (Пояснение: два члена, про
которые известно, что они равны, не обязательно соседние).
Задача
78569
(#2)
|
|
Сложность: 4- Классы: 8,9
|
Дан прямоугольный биллиард размером 26×1965 (сторона длины 1965 направлена слева направо, а сторона длины 26 – сверху вниз; лузы расположены в вершинах прямоугольника). Из нижней левой лузы под углом 45° к бортам выпускается шар. Доказать, что после нескольких отражений от бортов он упадет в верхнюю левую лузу. (Угол падения равен углу отражения.)
Задача
78570
(#3)
|
|
Сложность: 5- Классы: 8,9,10
|
Два неравных картонных диска разделены на 1965 равных секторов. На каждом из
дисков произвольно выбраны 200 секторов и раскрашены в красный цвет. Меньший
диск наложен на больший, так что их центры совпадают, а секторы целиком лежат
один против другого. Меньший диск поворачивают на всевозможные углы, кратные
![$ {\frac{1}{1965}}$](show_document.php?id=1060663)
части окружности, оставляя больший диск неподвижным. Доказать,
что по крайней мере при 60 положениях на дисках совпадут не более 20
красных секторов.
Задача
78571
(#4)
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11
|
Посередине между двумя параллельными улицами стоят в один ряд одинаковые дома
со стороной, равной a. Расстояние между улицами – 3a, а расстояние между двумя соседними домами – 2a (см. рис.).
Одна улица патрулируется полицейскими, которые движутся на расстоянии 9a друг от друга со скоростью v. К тому времени, как первый полицейский проходит мимо середины некоторого дома, точно напротив него на другой улице появляется гангстер. С какой постоянной скоростью и в какую сторону должен двигаться по этой улице гангстер, чтобы ни один полицейский его не заметил?
Страница: 1 [Всего задач: 4]