|
|
 |
Условие
Посередине между двумя параллельными улицами стоят в один ряд одинаковые дома со стороной, равной a. Расстояние между улицами – 3a, а расстояние между двумя соседними домами – 2a (см. рис.).
Одна улица патрулируется полицейскими, которые движутся на расстоянии 9a друг от друга со скоростью v. К тому времени, как первый полицейский проходит мимо середины некоторого дома, точно напротив него на другой улице появляется гангстер. С какой постоянной скоростью и в какую сторону должен двигаться по этой улице гангстер, чтобы ни один полицейский его не заметил?
Решение
Проведём две прямые x и y параллельно улицам через края домов (прямую x ближе к той улице, на которой стоят полицейские).
Соединим точку, в которой находится гангстер, отрезками со всеми точками, в которых находятся полицейские. Занумеруем эти отрезки целыми числами от –∞ до +∞ в том порядке, в котором расположены полицейские на первой улице. Пусть xi и yi – точки, в которых i-й отрезок пересекает прямые x и y. Заметим, что точки xi расположены с интервалом 6a, а точки yi – с интервалом 3a. Поэтому в начальный момент все эти точки расположены на стенах домов, то есть ни один полицейский гангстера не видит. Ясно, что все точки xi движутся с одинаковой постоянной скоростью. В частности, все они неподвижны, если гангстер движется навстречу полицейским со скоростью 2v, и в этом случае полицейские никогда не увидят гангстера. Если же гангстер движется навстречу полицейским со скоростью v/2, то неподвижны точки xi, и полицейские также не увидят гангстера. Докажем, что других возможностей у гангстера нет.
Предположим, что точки x0 и y0
движутся (тогда движутся и все остальные точки). Рассмотрим большой отрезок времени T. В течение времени T более половины времени точка x0 и не лежала на сторонах домов, и более половины времени точка y0 не лежала на сторонах домов. Тогда найдётся момент времени, когда ни одна из точек x0 и y0 не лежала на сторонах домов. Докажем, что в этот момент один из полицейских видит гангстера. Рассмотрим тот отрезок прямой x между домами, на котором находится точка x0. Как сказано выше, точки xi расположены с интервалом 6a, а точки yi – с интервалом 3a. Поэтому на отрезке прямой y, расположенном напротив рассматриваемого отрезка прямой x, найдётся одна из точек yi. По той же причине точки x–i и y–i расположены на одном и том же промежутке между домами. Тогда полицейский с номером –i видит гангстера.
Ответ
Гангстер должен двигаться навстречу полицейским со скоростью 2v или v/2.
