Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109784

Темы:   [ Ограниченность, монотонность ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Последовательность натуральных чисел a_n строится следующим образом: a₀ – некоторое натуральное число;  a_n+1 = ⅕ a_n,  если a_n делится на 5;
a_n+1 = [ a_n],  если a_n не делится на 5. Докажите, что начиная с некоторого члена последовательность a_n возрастает.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109599

Темы:   [ Ограниченность, монотонность ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Тождественные преобразования ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Последовательности (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого натурального числа a₁ > 1 существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел  a₁, a₂, a₃, ...,
что      делится на  a₁ + a₂ + ... + a_k  при всех  k ≥ 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97900

Темы:   [ Квадратные неравенства и системы неравенств ] [ Ограниченность, монотонность ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

При каком натуральном K величина     достигает максимального значения?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98510

Темы:   [ Средние величины ] [ Ограниченность, монотонность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В магазин завезли 20 кг сыра, за ним выстроилась очередь. Отпустив сыр очередному покупателю, продавщица безошибочно подсчитывает средний вес покупки по всему проданному сыру и сообщает, на сколько человек хватит оставшегося сыра, если все будут покупать именно по этому среднему весу. Могла ли продавщица после каждого из первых 10 покупателей сообщать, что сыра хватит ещё ровно на 10 человек? Если да, то сколько сыра осталось в магазине после первых 10 покупателей?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35619

Темы:   [ Принцип крайнего ] [ Ограниченность, монотонность ] [ Перебор случаев ] [ Подпоследовательности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

За дядькой Черномором выстроились чередой бесконечное число богатырей разного роста. Докажите, что он может приказать части из них выйти из строя так, чтобы в строю осталось бесконечное число богатырей и все они стояли по росту (в порядке возрастания или убывания).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями