Каталог по темам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 [Всего задач: 69]

Задача 34889

Темы:	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Монотонность и ограниченность	]
	[	Выпуклые и невыпуклые фигуры	]
	[	Итерации	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

На плоскости дан невыпуклый n-угольник с попарно непараллельными сторонами. Пусть A и B - две несоседние вершины n-угольника, разделяющие его контур на две ломаные AXY...B и BZT...A. Разрешается отразить одну из этих ломаных относительно середины отрезка AB. При этом получится новый многоугольник (а если не получится, то такая операция не разрешена). Докажите, что с помощью таких действий можно получить выпуклый многоугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 98268

Темы:	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Итерации	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Кондаков Г.В.

а) Разбейте отрезок [0, 1] на чёрные и белые отрезки так, чтобы для любого многочлена p(x) степени не выше второй сумма приращений p(x) по всем чёрным отрезкам равнялась сумме приращений p(x) по всем белым интервалам.
(Приращением многочлена p по отрезку (a, b) называется число p(b) – p(a).)

б) Удастся ли проделать аналогичную операцию для всех многочленов степени не выше 1995?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73574

Темы:	[	Линейные рекуррентные соотношения	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Метод спуска	]
	[	Итерации	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Целые неотрицательные числа x и y удовлетворяют равенству x² – mxy + y² = 1 (1) тогда и только тогда, когда x и y – соседние члены последовательности (2): a₀ = 0, a₁ = 1, a₂ = m, a₃ = m² – 1, a₄ = m³ – 2m, a₅ = m⁴ – 3m² + 1, ..., в которой a_k+1 = ma_k – a_k–1 для любого k 0. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79272

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Гомотетичные многоугольники	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Итерации	]
	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Лемма о вложенных отрезках	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 [Всего задач: 69]