ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 69]      



Задача 73714

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Итерации ]
[ Неравенства для углов треугольника ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Признаки подобия ]
[ Сжимающие отображения и неподвижные точки ]
[ Композиции движений. Теорема Шаля ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Для каждого непрямоугольного треугольника T обозначим через T1 треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T; через T2 – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T1; аналогично определим треугольники T3, T4 и так далее. Каким должен быть треугольник T, чтобы
  а) треугольник T1 был остроугольным?
  б) в последовательности T1, T2, T3, ... встретился прямоугольный треугольник Tn (и таким образом треугольник Tn+1 не определён)?
  в) треугольник T3 был подобен треугольнику T?
  г) Для каждого натурального числа n выясните, сколько существует неподобных друг другу треугольников T, для которых треугольник Tn подобен треугольнику Т.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78085

Темы:   [ Неравенства с площадями ]
[ Итерации ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

В прямоугольнике площадью 5 кв. единиц расположены девять прямоугольников, площадь каждого из которых равна единице. Докажите, что площадь общей части некоторых двух прямоугольников больше или равна 1/9.
Прислать комментарий     Решение


Задача 105137

Темы:   [ Подобные фигуры ]
[ Итерации ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Можно ли раскрасить все точки квадрата и круга в чёрный и белый цвета так, чтобы множества белых точек этих фигур были подобны друг другу и множества чёрных точек также были подобны друг другу (возможно, с различными коэффициентами подобия)?
Прислать комментарий     Решение


Задача 78080

Темы:   [ Неравенства с площадями ]
[ Итерации ]
Сложность: 6
Классы: 8,9

На столе лежат 15 журналов, закрывающих его целиком. Докажите, что можно забрать семь журналов так, чтобы оставшиеся журналы закрывали не меньше 8/15 площади стола. (Эту задачу не решил никто из участников олимпиады.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 78077

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Шестиугольники ]
[ Итерации ]
[ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]
[ Последовательности и ряды функций ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Точки A1, A2, A3, A4, A5, A6 делят окружность радиуса 1 на шесть равных частей. Из A1 провёден луч l1 в направлении A2, из A2 – луч l2 в направлении A3, ..., из A6 – луч l6 в направлении A1. Из точки B1, взятой на луче l1, опускается перпендикуляр на луч l6, из основания этого перпендикуляра опускается перпендикуляр на l5 и т. д. Основание шестого перпендикуляра совпало с B1. Найти отрезок B1A1.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 69]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .