ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 79272
УсловиеВыпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.РешениеЗаметим, что обратное утверждение доказать значительно проще: если в многоугольник можно вписать окружность, то при отодвигании всех его сторон на одно и тоже расстояние (в частности, на единицу) получается подобный многоугольник, причём центром подобия служит центр окружности.Перейдём теперь к решению задачи. Первый способ. Пусть многоугольник P' получается из многоугольника P отодвиганием сторон внутрь многоугольника P на расстояние 1 и в то же время P' можно получить из P преобразованием f подобия с коэффициентом k < 1. Подвергнем этому преобразований многоугольник P вместе с нарисованным внутри него многоугольником P'. Тогда внутри P' (образа P) появится новый многоугольник P'' (образ P'), подобный P' (с коэффициентом k) и P (с коэффициентом k2), причём, очевидно, стороны P'' = f (P') можно получить отодвиганием сторон P' внутрь на расстояние k. Точно так же, отодвинув стороны ещё на k2 получим многоугольник f (P'') = P(3), расположенный внутри P'' (образ P'' при преобразовании f), и так далее: f (P(3)) = P(4),..., f (P(n)) = P(n+1), ..., гдеP Очевидно, поскольку стороны многоугольника P(n) каждый раз уменьшаются в одном и том же отношении, их длины стремятся к нулю, и поэтому пересечение всех многоугольников состоит из одной точки. (Тот факт, что это пересечение не пусто, легко вывести из аналогичного утверждения для числовой прямой: последовательность вложенных отрезков [a;b] Каждая сторона многоугольника P' последовательно отодвигается на расстояния k, k2, k3,..., kn,..., поэтому расстояние от каждой стороны до точки O равно одному и тому же числу — сумме бесконечной геометрической прогрессии
k + k2 + k3 + ... + kn + ... = r.
Таким образом, окружность с центром O и радиусом r касается всех сторон многоугольника P'.
Заметим, что в приведённом доказательстве было несущественно, какие именно стороны соответствуют друг другу при преобразовании подобия f, переводящем P в P'. Можно доказать такую лемму: если многоугольники P и P' (полученный из P отодвиганием сторон на 1) подобны с каким угодно соответствием сторон (с "поворотом" или "симметричным отражением" порядка сторон), то всегда будет иметь место и подобие c естественным порядком сторон — гомотетия с коэффициентом k (0 < k < 1). Доказательство, независимое от первого решения, мы приведём в конце, а пока дадим ещё два решения задачи, опирающихся на эту лемму (то есть подразумевающих естественное соответствие сторон при подобии). Второй способ. Пусть [AB] — сторона P, [A'B'] — соответствующая сторона P', O — точка пересечения (AA') и (BB'). Тогда Третий способ. Разрежем "щель" между многоугольниками P и P' на прямоугольники высоты 1 с основаниями A'B', B'С', С'D', ... и "ромбоиды" — четырёхугольники, остающиеся у каждой вершины A, B, C, .... Очевидно, из этих ромбоидов можно составить один многоугольник, описанный около окружности радиуса единица, причём его углы соответственно конгруэнтны Доказательство леммы. Будем для каждой стороны [AB] многоугольника P обозначать через [A'B'] ту сторону P', которая получается при отодвигании AB. Пусть при подобии стороне [A1B1] соответствует [A2'B2']: [A1B1] Тогда Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |