Страница:
<< 8 9 10 11 12 13
14 >> [Всего задач: 69]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
С ненулевым числом разрешается проделывать следующие
операции:
x
,
x
. Верно ли, что из каждого ненулевого
рационального числа можно получить каждое рациональное
число с помощью конечного числа таких операций?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 7,8,9,10
|
Можно ли разбить правильный треугольник на миллион многоугольников так, чтобы никакая прямая не пересекала более сорока из этих многоугольников?
Мы говорим, что прямая пересекает многоугольник, если она имеет с ним хотя бы одну общую точку.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Назовём лабиринтом шахматную доску 8×8, на которой между некоторыми
полями поставлены перегородки. По команде ВПРАВО ладья смещается на одно поле вправо или, если справа находится край доски или перегородка, остаётся на
месте; аналогично выполняются команды ВЛЕВО, ВВЕРХ и ВНИЗ. Программист пишет программу – конечную последовательность указанных команд, и даёт её пользователю, после чего пользователь выбирает лабиринт и помещает в него ладью на любое поле. Верно ли, что программист может написать такую программу, что ладья обойдёт все доступные поля в лабиринте при любом выборе пользователя?
|
|
|
Сложность: 7
Классы: 9,10,11
|
На бесконечном клетчатом листе белой бумаги
n клеток закрашены в чёрный цвет. В моменты времени
t = 1, 2, 3,... происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клетка
k приобретает тот цвет, который имело в предыдущий момент большинство из трёх клеток: самой клетки
k и её соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, то
k становится белой, если две или три из них были чёрными,— то чёрной).
а) Докажите, что через конечное время на листе не останется ни одной чёрной клетки.
б) Докажите, что чёрные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени t = n.
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 5,6,7,8
|
У Джона была полная корзина тремпончиков. Сначала он встретил Анну и дал ей половину своих тремпончиков и еще полтремпончика. Потом он встретил Банну и отдал ей половину оставшихся тремпончиков и еще полтремпончика. После того, как он встретил Ванну и снова отдал ей половину тремпончиков и еще полтремпончика, корзина опустела. Сколько тремпончиков было у Джона вначале? (Что такое тремпончики выяснить не удалось, так как к концу задачи их не осталось.)
Страница:
<< 8 9 10 11 12 13
14 >> [Всего задач: 69]
Фильтр
