Страница:
<< 12 13 14 15
16 17 18 >> [Всего задач: 131]
|
|
Сложность: 4- Классы: 8,9,10
|
Пусть
ABCD — выпуклый четырехугольник,
K,
L,
M и
N —
середины сторон
AB,
BC,
CD и
DA. Докажите, что точка пересечения
отрезков
KM и
LN является серединой этих отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.
|
|
Сложность: 4- Классы: 8,9,10
|
Дан остроугольный треугольник
A0B0C0. Пусть точки
A1,
B1,
C1 — центры
квадратов, построенных на сторонах
B0C0,
C0A0,
A0B0. С треугольником
A1B1C1 делаем то же самое. Получаем треугольник
A2B2C2 и т.д.
Доказать, что
An + 1Bn + 1Cn + 1 пересекает
AnBnCn
ровно в 6 точках.
|
|
Сложность: 4- Классы: 8,9,10
|
Выпуклый n-угольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Разрешается проделывать следующее преобразование (перестройку): взяв пару треугольников ABD и BCD с общей стороной, заменить их на треугольники ABC и ACD. Пусть P(n) – наименьшее число перестроек, за которое можно перевести каждое разбиение в любое. Докажите, что
а) P(n) ≥ n – 3;
б) P(n) ≤ 2n – 7;
в) P(n) ≤ 2n – 10 при n ≥ 13.
|
|
Сложность: 4- Классы: 9,10,11
|
Пусть F1, F2, F3, ... – последовательность выпуклых четырёхугольников, где Fk+1 (при k = 1, 2, 3, ...) получается так: Fk разрезают по диагонали, одну из частей переворачивают и склеивают по линии разреза с другой частью. Какое наибольшее количество различных четырёхугольников может содержать эта последовательность? (Различными считаются многоугольники, которые нельзя совместить движением.)
|
|
Сложность: 4- Классы: 9,10
|
Дан выпуклый четырёхугольник без параллельных сторон. Для каждой тройки его вершин строится точка, дополняющая эту тройку до параллелограмма, одна из диагоналей которого совпадает с диагональю четырёхугольника. Доказать, что из
четырёх построенных точек ровно одна лежит внутри исходного четырёхугольника.
Страница:
<< 12 13 14 15
16 17 18 >> [Всего задач: 131]