ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 131]      



Задача 57751

Темы:   [ Теорема о группировке масс ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник, K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и DA. Докажите, что точка пересечения отрезков KM и LN является серединой этих отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78240

Темы:   [ Индукция в геометрии ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Дан остроугольный треугольник A0B0C0. Пусть точки A1, B1, C1 — центры квадратов, построенных на сторонах B0C0, C0A0, A0B0. С треугольником A1B1C1 делаем то же самое. Получаем треугольник A2B2C2 и т.д. Доказать, что $ \Delta$An + 1Bn + 1Cn + 1 пересекает $ \Delta$AnBnCn ровно в 6 точках.
Прислать комментарий     Решение


Задача 97985

Темы:   [ Перестройки ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ Разные задачи на разрезания ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Выпуклый n-угольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Разрешается проделывать следующее преобразование (перестройку): взяв пару треугольников ABD и BCD с общей стороной, заменить их на треугольники ABC и ACD. Пусть P(n) – наименьшее число перестроек, за которое можно перевести каждое разбиение в любое. Докажите, что
  а)  P(n) ≥ n – 3;
  б)  P(n) ≤ 2n – 7;
  в)  P(n) ≤ 2n – 10  при  n ≥ 13.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98552

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ Процессы и операции ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]
[ Инварианты ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Пусть F1, F2, F3, ... – последовательность выпуклых четырёхугольников, где Fk+1  (при k = 1, 2, 3, ...)  получается так: Fk разрезают по диагонали, одну из частей переворачивают и склеивают по линии разреза с другой частью. Какое наибольшее количество различных четырёхугольников может содержать эта последовательность? (Различными считаются многоугольники, которые нельзя совместить движением.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 103930

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

Дан выпуклый четырёхугольник без параллельных сторон. Для каждой тройки его вершин строится точка, дополняющая эту тройку до параллелограмма, одна из диагоналей которого совпадает с диагональю четырёхугольника. Доказать, что из четырёх построенных точек ровно одна лежит внутри исходного четырёхугольника.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 131]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .