Каталог по темам

Задачи

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 131]

Задача 78687

Темы:	[	Свойства частей, полученных при разрезаниях	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Правильный треугольник ABC разбит на N выпуклых многоугольников так, что каждая прямая пересекает не более 40 из них (мы говорим, что прямая пересекает многоугольник, если они имеют общую точку, например, если прямая проходит через вершину многоугольника). Может ли быть N больше миллиона?

Прислать комментарий Решение

Задача 77891

Темы:	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Даны два треугольника: $\Delta$ ABC и $\Delta$ DEF и точка O. Берется любая точка X в $\Delta$ ABC и любая точка Y в $\Delta$ DEF; треугольник OXY достаивается до параллелограмма OXZY. а) Докажите, что все полученные таким образом точки образуют многоугольник. б) Сколько сторон он может иметь? в) Докажите, что его периметр равен сумме периметров исходных треугольников.

Прислать комментарий Решение

Задача 35575

Темы:	[	Теорема о промежуточном значении. Связность	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Соображения непрерывности	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Дана выпуклая фигура и точка A внутри нее. Докажите, что найдется хорда (т.е. отрезок, соединяющий две граничные точки выпуклой фигуры), проходящая через точку A и делящаяся точкой A пополам.

Прислать комментарий Решение

Задача 57687

Темы:	[	Векторы сторон многоугольников	]
Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Дано n попарно не сонаправленных векторов (n $\ge$ 3), сумма которых равна нулю. Докажите, что существует выпуклый n-угольник, набор векторов сторон которого совпадает с данным набором векторов.

Прислать комментарий Решение

Задача 58090

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Внутри выпуклого 2n-угольника взята точка P. Через каждую вершину и точку P проведена прямая. Докажите, что найдется сторона 2n-угольника, с которой ни одна из проведенных прямых не имеет общих внутренних точек.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 131]