ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 150]      



Задача 53820

Темы:   [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

В ромб ABCD вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AD в точке M и пересекающая отрезок MC в точке N такой, что MN = 2NC. Найдите углы и площадь ромба.

Прислать комментарий     Решение


Задача 67079

Темы:   [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дан неравнобедренный треугольник $ABC$. Выберем произвольную окружность ω, касающуюся описанной окружности Ω треугольника $ABC$ внутренним образом в точке $B$ и не пересекающую прямую $AC$. Отметим на ω точки $P$ и $Q$ так, чтобы прямые $AP$ и $CQ$ касались ω, а отрезки $AP$ и $CQ$ пересекались внутри треугольника $ABC$. Докажите, что все полученные таким образом прямые $PQ$ проходят через одну фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности ω.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108137

Темы:   [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Теорема синусов ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Трапеции (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Дан четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность ω. Касательная к ω, проведённая через точку A, пересекает продолжение стороны BC за точку B в точке K, а касательная к ω, проведённая через точку B, пересекает продолжение стороны AD за точку A в точке M. Известно, что  AM = AD  и  BK = BC.  Докажите, что ABCD – трапеция.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108146

Темы:   [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Сонкин М.

На медиане CD треугольника ABC отмечена точка E. Окружность S1, проходящая через точку E и касающаяся прямой AB в точке A, пересекает сторону AC в точке M. Окружность S2, проходящая через точку E и касающаяся прямой AB в точке B, пересекает сторону BC в точке N. Докажите, что описанная окружность треугольника CMN касается окружностей S1 и S2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108899

Темы:   [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Две окружности касаются друг друга. В большую из них вписан равносторонний треугольник, из вершин которого проведены касательные к меньшей. Докажите, что длина одной из этих касательных равна сумме длин двух других.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 150]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .