Задача 108137

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Теорема синусов ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Автор: Берлов С.Л.

Дан четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность ω. Касательная к ω, проведённая через точку A, пересекает продолжение стороны BC за точку B в точке K, а касательная к ω, проведённая через точку B, пересекает продолжение стороны AD за точку A в точке M. Известно, что  AM = AD  и  BK = BC.  Докажите, что ABCD – трапеция.

Решение

  По теореме о касательной и секущей  BM² = AM· DM = ½ DM²,  AK² = BK·CK = ½ CK².
  По теореме синусов     а так как  sin∠ACK = sin∠BDM,  то  sin∠CAK = sin∠DBM.  Поэтому либо  ∠CAK = ∠DBM,  либо  ∠CAK + ∠DBM = 180°.
  В первом случае треугольники CAK и DBM равны (они подобны по двум углам, а AB – их общая медиана, проведённая из соответствующих вершин), поэтому  AD = BC.  Следовательно, хорды AB и CD параллельны.

  Рассмотрим второй случай. Из теоремы о вписанных углах и теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
∠CAK = ∠CAB + ∠KAB = ∠CDB + ∠ADB = ∠CDA,  ∠DBM = ∠DBA + ∠ABM = ∠ACD + ∠BCA = ∠BCD,  а так как  ∠CAK + ∠DBM = 180°,  то
∠CDA + ∠BCD = 180°.  Следовательно,  AD || BC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6487
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2002
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	02.5.10.2