ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 61]      



Задача 66114

Темы:   [ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Кузнечик умеет прыгать по полоске из n клеток на 8, 9 и 10 клеток в любую сторону. Будем называть натуральное число n пропрыгиваемым, если кузнечик может, начав с некоторой клетки, обойти всю полоску, побывав на каждой клетке ровно один раз. Найдите хотя бы одно  n > 50,  которое не является пропрыгиваемым.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66706

Тема:   [ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

В таблице $10\times10$ записано $100$ различных чисел. За ход можно выбрать любой составленный из клеток прямоугольник и переставить все числа в нём симметрично относительно его центра («повернуть прямоугольник на $180^\circ$»). Всегда ли за $99$ ходов можно добиться, чтобы числа возрастали в каждой строке слева направо и в каждом столбце – снизу вверх?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66874

Темы:   [ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
[ Логика и теория множеств (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

По кругу лежит 101 монета, каждая весит 10 г или 11 г. Докажите, что найдётся монета, для которой суммарная масса $k$ монет слева от неё равна суммарной массе $k$ монет справа от неё, если
а) k=50;
б) k=49.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109916

Темы:   [ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
[ Куб ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Дан куб со стороной 4. Можно ли целиком оклеить три его грани, имеющие общую вершину, 16 бумажными прямоугольными полосками размером 1×3?

Прислать комментарий     Решение

Задача 111777

Темы:   [ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В клетках таблицы 15×15 изначально записаны нули. За один ход разрешается выбрать любой её столбец или любую строку, стереть записанные там числа и записать туда все числа от 1 до 15 в произвольном порядке – по одному в каждую клетку. Какую максимальную сумму чисел в таблице можно получить такими ходами?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 61]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .