|
|
 |
Условие
По кругу лежит 101 монета, каждая весит 10 г или 11 г. Докажите, что найдётся монета, для которой суммарная масса $k$ монет слева от неё равна суммарной массе $k$ монет справа от неё, еслиа) k=50;
б) k=49.
Решение
Решим сразу оба пункта. Пусть $k$ — любое из чисел 49 или 50. Раскрасим монеты в чёрный и белый цвета (10 г — одним цветом, 11 г — другим). Монет какого-то цвета, скажем, белых, будет нечётное количество, пусть $2m+1$. Надо доказать, что среди $k$ монет справа и $k$ монет слева от какой-то монеты будет поровну белых.
Предположим противное. Тогда $m>0$, иначе единственная белая монета — искомая. Назовём белую монету правой, если среди $k$ монет справа от неё белых больше, чем среди $k$ монет слева от неё, в противном случае — левой. Так как белых монет $2m+1$, правых и левых монет будет не поровну, пусть правых больше.
Пусть $A$ — правая монета, а $B$ — $m$-я справа от $A$ белая монета (то есть на дуге, идущей вправо от $A$ к $B$, белых монет между $A$ и $B$ ровно $m-1$).
Если бы среди $k$ монет справа от $A$ не было $B$, то среди них было бы не более $m-1$ белой монеты. Так как $k\geq49$, то вместе среди $k$ монет слева от $A$ и $k$ монет справа от $A$ хотя бы $2m-2$ белые монеты, поэтому среди $k$ монет слева от $A$ было бы тогда не менее $m-1$ белой, то есть не меньше, чем справа, что противоречит тому что $A$ — правая.
Значит среди $k$ монет справа от $A$ есть $B$, но тогда среди $k$ монет слева от $B$ встречаются все белые монеты, лежащие на дуге, идущей вправо от $A$ к $B$, и сама монета $A$, то есть среди них встречается не менее $m$ монет. Так как $k\leq50$, то вместе среди $k$ монет слева от $B$ и $k$ монет справа от $B$ не более $2m$ белых, поэтому среди $k$ монет справа от $B$ не более $m$ белых, то есть не больше, чем слева. Значит, монета $B$ — левая.
Итак, для всякой правой монеты $m$-я справа от неё белая монета — левая. Значит, левых не меньше, чем правых, противоречие.
