|
|
 |
Условие
В клетчатом деревянном квадрате 102 клетки намазаны чёрной краской. Петя, используя квадрат как печать, 100 раз приложил его к белому листу, и каждый раз эти 102 клетки (и только они) оставляли чёрный отпечаток на бумаге. Мог ли в итоге на листе получиться квадрат 101×101, все клетки которого, кроме одной угловой, чёрные?
Решение
Любой квадрат $(2N+1)\times (2N+1)$ без угловой клетки можно получить, 2$N$ раз приложив печать из 2$N$ + 2 клеток. Для пояснения приведём рисунок для $N$ = 4.
Квадрат без правого верхнего угла представим как квадрат $2N\times 2N$ с двумя приклееными сверху и справа полосками $1\times 2N$. Разобьём квадрат $2N\times 2N$ на четыре квадратика $N\times N$. Покрасим левый нижний и правый верхний квадратики $N\times N$ и верхнюю полоску в серый цвет. Теперь белая часть получается из серой поворотом на 90° по часовой стрелке (относительно центра квадрата $2N\times 2N)$. Левый край каждого серого квадратика $N\times N$ и две клетки серой полоски на тех же вертикалях сделаем тёмными. Это будет первый отпечаток. Сдвинув его вправо на одну клетку, сделаем второй отпечаток, и т.д. Тогда $N$ отпечатков покроют в точности серую область.
Развернув печать на 90° $N$ отпечатками покроем белую область.
Ответ
Мог.
Замечания
1. Есть и другие варианты печатей. Например, такой (для простоты рассмотрен случай $N$ = 3):
2. 10 баллов.
