Каталог по темам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 173]

Задача 56920

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 9

а) Пусть $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ — произвольные углы, причем сумма любых двух из них меньше 180^o. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены треугольники A₁BC, AB₁C и ABC₁, имеющие при вершинах A, B и C углы $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ . Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.
б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC внутренним образом.

Прислать комментарий Решение

Задача 56921

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 9

Стороны BC, CA и AB треугольника ABC касаются окружности с центром O в точках A₁, B₁ и C₁. На лучах OA₁, OB₁ и OC₁ отложены равные отрезки OA₂, OB₂ и OC₂. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 56922

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прямые AP, BP и CP пересекают прямые BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Точки A₂, B₂ и C₂ выбраны на прямых BC, CA и AB так, что $\overline{BA_2}$ : $\overline{A_2C}$ = $\overline{A_1C}$ : $\overline{BA_1}$ , $\overline{CB_2}$ : $\overline{B_2A}$ = $\overline{B_1A}$ : $\overline{CB_1}$ и $\overline{AC_2}$ : $\overline{C_2B}$ = $\overline{C_1B}$ : $\overline{AC_1}$ . Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ тоже пересекаются в одной точке Q (или параллельны).

Прислать комментарий Решение

Задача 56906

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 6
Классы: 9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки A₁, B₁ и C₁, лежащие на одной прямой. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{AB}{BC_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{C_1A_1}{B_1A_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{A_1B}{BC}}$ ^. $\displaystyle {\frac{CB_1}{B_1A}}$ = 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56907

[Теорема Дезарга]

Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
Темы:	[	Переведем данную прямую на бесконечность	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке O. Докажите, что точки пересечения прямых AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, AC и A₁C₁ лежат на одной прямой (Дезарг).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 173]