ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56920
Тема:    [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Пусть  $ \alpha$,$ \beta$ и $ \gamma$ — произвольные углы, причем сумма любых двух из них меньше  180o. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены треугольники  A1BC, AB1C и ABC1, имеющие при вершинах A, B и C углы  $ \alpha$,$ \beta$ и $ \gamma$. Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC внутренним образом.

Решение

Пусть прямые AA1, BB1 и CC1 пересекают прямые BC, CA и AB в точках A2, B2 и C2.
а) Если  $ \angle$B + $ \beta$ < 180o и  $ \angle$C + $ \gamma$ < 180o, то  $ {\frac{BA_2}{A_2C}}$ = $ {\frac{S_{ABA_1}}{S_{ACA_1}}}$ = $ {\frac{AB\cdot BA_1\sin(B+\beta )}{AC\cdot CA_1\sin(C+\gamma )}}$ = $ {\frac{AB}{AC}}$ . $ {\frac{\sin\gamma }{\sin\beta }}$ . $ {\frac{\sin(B+\beta )}{\sin(C+\gamma )}}$. Последнее выражение равно  $ \overline{BA_2}$ : $ \overline{A_2C}$ во всех случаях. Запишем аналогичные выражения для  $ \overline{CB_2}$ : $ \overline{B_2A}$ и  $ \overline{AC_2}$ : $ \overline{C_2B}$ и перемножим их. Остается воспользоваться теоремой Чевы.
б) Точка A2 лежит вне отрезка BC, только если ровно один из углов $ \beta$ и $ \gamma$ больше соответствующего ему угла B или C. Поэтому

$\displaystyle {\frac{\overline{BA_2}}{\overline{A_2C}}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{AC}}$ . $\displaystyle {\frac{\sin\gamma }{\sin\beta }}$ . $\displaystyle {\frac{\sin(B-\beta )}{\sin(C-\gamma )}}$.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 8
Название Теорема Чевы
Тема Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер 05.075

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .