Информация о задаче

Задача 56919

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Прямые A₁B₁ и A₁C₁ пересекают прямую, проходящую через вершину A параллельно стороне BC, в точках C₂ и B₂ соответственно. Докажите, что AB₂ = AC₂.

Решение

Так как $\triangle$ AC₁B₂ $\sim$ $\triangle$ BC₁A₁ и $\triangle$ AB₁C₂ $\sim$ $\triangle$ CB₁A₁, то AB₂^.C₁B = AC₁^.BA₁ и AC₂^.CB₁ = A₁C^.B₁A. Поэтому

$\displaystyle {\frac{AB_2}{AC_2}}$ = $\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$ ^. $\displaystyle {\frac{BA_1}{A_1C}}$ ^. $\displaystyle {\frac{CB_1}{B_1A}}$ = 1.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	8
Название	Теорема Чевы
Тема	Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер	05.074