Каталог по темам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 173]

Задача 56914

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA взяты точки C₁, A₁ и B₁, причем k из них лежат на сторонах треугольника и 3 - k — на продолжениях сторон. Пусть

R = $\displaystyle {\frac{BA_1}{CA_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{CB_1}{AB_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{AC_1}{BC_1}}$ .

Докажите, что:
а) точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R = 1 и k четно (Менелай);
б) прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечетно (Чева).

Прислать комментарий

Решение

Задача 56915

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 9

Вписанная (или вневписанная) окружность треугольника ABC касается прямых BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 56917

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 9

Докажите, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 56918

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прямые AP, BP и CP пересекают стороны треугольника ABC (или их продолжения) в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что:
а) прямые, проходящие через середины сторон BC, CA и AB параллельно прямым AP, BP и CP, пересекаются в одной точке;
б) прямые, соединяющие середины сторон BC, CA и AB с серединами отрезков AA₁, BB₁ и CC₁, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 56919

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Прямые A₁B₁ и A₁C₁ пересекают прямую, проходящую через вершину A параллельно стороне BC, в точках C₂ и B₂ соответственно. Докажите, что AB₂ = AC₂.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 173]