Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 257]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116800

Тема:   [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Докажите, что если  а > 0,  b > 0,  c > 0  и  аb + bc + ca ≥ 12,  то  a + b + c ≥ 6.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116991

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Найдите наибольшее значение выражения  ab + bc + ac + abc,  если  a + b + c = 12  (a, b и с – неотрицательные числа).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61385

Темы:   [ Классические неравенства (прочее) ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ] [ Инварианты и полуинварианты ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Докажите, что если   a₁ ≥ a₂ ≥ ... ≥ a_n,   b₁ ≥ b₂ ≥ ... ≥ b_n,   то наибольшая из сумм вида   a₁b_k1 + a₂b_k2 + ... + a_nb_kn     (k₁, k₂, ..., k_n – перестановка чисел
1, 2, ..., n),  это сумма   a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n,   а наименьшая – сумма   a₁b_n + a₂b_n–1 + ... + a_nb₁.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30866

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

a, b, c ≥ 0.  Докажите, что  (a + b)(a + c)(b + c) ≥ 8abc.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30869

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Докажите, что при любых a, b, c имеет место неравенство  a⁴ + b⁴ + c⁴ ≥ abc(a + b + c).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 257]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями