ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 255]      



Задача 116800

Тема:   [ Неравенство Коши ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Автор: Фольклор

Докажите, что если  а > 0,  b > 0,  c > 0  и  аb + bc + ca ≥ 12,  то  a + b + c ≥ 6.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116991

Темы:   [ Неравенство Коши ]
[ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Автор: Фольклор

Найдите наибольшее значение выражения  ab + bc + ac + abc,  если  a + b + c = 12  (a, b и с – неотрицательные числа).

Прислать комментарий     Решение

Задача 61385

Темы:   [ Классические неравенства (прочее) ]
[ Перестановки и подстановки (прочее) ]
[ Инварианты и полуинварианты ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что если   a1a2 ≥ ... ≥ an,   b1b2 ≥ ... ≥ bn,   то наибольшая из сумм вида   a1bk1 + a2bk2 + ... + anbkn     (k1, k2, ..., kn – перестановка чисел
1, 2, ..., n),  это сумма   a1b1 + a2b2 + ... + anbn,   а наименьшая – сумма   a1bn + a2bn–1 + ... + anb1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 30866

Темы:   [ Неравенство Коши ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

a, b, c ≥ 0.  Докажите, что  (a + b)(a + c)(b + c) ≥ 8abc.

Прислать комментарий     Решение

Задача 30869

Темы:   [ Неравенство Коши ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что при любых a, b, c имеет место неравенство  a4 + b4 + c4abc(a + b + c).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 255]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .