Задача 116991

Темы:    [ Неравенство Коши ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Фольклор

Найдите наибольшее значение выражения  ab + bc + ac + abc,  если  a + b + c = 12  (a, b и с – неотрицательные числа).

Решение

  Первый способ.  

  Кроме того,  ab + bc + ac ≤ a ² + b² + c² = (a + b + c)² – 2(ab + bc + ac),  то есть  3(ab + bc + ac) ≤ (a + b + c)² = 144.
  В обоих случаях равенство достигается, если  a = b = c = 4.  Следовательно, наибольшее значение данного выражения равно  64 + 144 : 3 = 112.

  Второй способ. Пусть  X = ab + bc + ac + abc. Тогда

  Таким образом,  X ≤ 112.

  Равенство достигается при  a = b = c = 4.

Ответ

112.

Замечания

Неотрицательность чисел a, b, с существенна. Например, при  а = 20,  b = с = –4,  значение данного выражения равно  176 > 112.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2012/13
класс
	1
Класс	10
задача
Номер	10.3.1