Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 43]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79452

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9

Сумма пяти неотрицательных чисел равна единице.
Докажите, что их можно расставить по кругу так, что сумма всех пяти попарных произведений соседних чисел будет не больше ⅕.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79473

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Числа a₁, a₂, ..., a₁₉₈₅ представляют собой переставленные в некотором порядке числа 1, 2, ..., 1985. Каждое число a_k умножается на его номер k, а затем среди полученных 1985 произведений выбирается наибольшее. Доказать, что оно не меньше, чем 993².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105133

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Про положительные числа a, b, c известно, что  ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c ≥ a + b + c.  Докажите, что  a + b + c ≥ 3abc.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109543

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство  a² + ab + b² ≥ 3(a + b – 1).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30928

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 6,7

Докажите, что если  x + y + z ≥ xyz,  то  x² + y² + z² ≥ xyz.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 43]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями