ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109543
Темы:    [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство  a² + ab + b² ≥ 3(a + b – 1).


Решение 1

Рассмотрим выражение  a² + ab + b² – 3(a + b – 1) = a² + (b – 3)a + (b² – 3b + 3)  как квадратный трёхчлен относительно a. Его дискриминант равен
– 3(b – 1)²  и, следовательно, неположителен. Так как коэффициент при a² положителен, то трёхчлен принимает только неотрицательные значения, значит,  a² + ab + b² ≥ 3(a + b – 1)  при любых a и b. Равенство достигается тогда и только тогда, когда a = b = 1.


Решение 2

a² + ab + b² – 3(a + b – 1) = (a – 1)² + (b – 1)² + (a – 1)(b – 1),  а, как известно, выражение  x² + xy + y²  всегда неотрицательно.


Решение 3

2(a² + ab + b² – 3(a + b – 1)) = (a – 1)² + (b – 1)² + (a + b – 2)² ≥ 0.

.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1993
Этап
Вариант 4
класс
Класс 9
задача
Номер 93.4.9.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .