|
|
 |
Условие
Сумма пяти неотрицательных чисел равна единице.
Докажите, что их можно расставить по кругу так, что сумма всех пяти попарных произведений соседних чисел будет не больше ⅕.
Решение
Допустим, что при любой расстановке чисел a, b, c, d, e рассматриваемая сумма больше ⅕, в частности при расстановках a, b, c, d, e и a, c, e, b, d:
ab + bc + cd + de + ea > ⅕, ac + ce + eb + bd + da > ⅕.
Тогда 1 = (a + b + c + d + e)² = ½ (a² + b² + b² + c² + c² + d² + d² + e² + e² + a²) + 2((ab + bc + cd + de + ea) + (ac + ce + eb + bd + da)) ≥
≥ 3(ab + bc + cd + de + ea) + 2(ac + ce + eb + bd + da) > 1. Противоречие.
Замечания
Условие неотрицательности чисел несущественно. Утверждение задачи (с заменой ⅕ на 1/n) справедливо для любых n чисел. Оценка 1/n достигается, когда все n чисел равны.
