Задача 105133

Темы:    [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Злобин С.А.

Про положительные числа a, b, c известно, что  ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c ≥ a + b + c.  Докажите, что  a + b + c ≥ 3abc.

Решение

Исходное неравенство запишем в виде  bc + ac + ab ≥ (a + b + c)abc.  Теперь из неравенства задачи 30865 получаем
(a + b + c)² = (a² + b² + c²) + 2(ab + bc + ca) ≥ 3(ab + bc + ca) ≥ 3(a + b + c)abc.  Следовательно,  a + b + c ≥ 3abc.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	65
Год	2002
вариант
Класс	10
задача
Номер	2