ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]      



Задача 30865

Темы:   [ Неравенство Коши ]
[ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10

Докажите, что  x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx  при любых x, y, z.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78470

Темы:   [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]
[ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8

a, b, c – такие три числа, что  a + b + c = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение  ab + ac + bc ≤ 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97997

Темы:   [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
[ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9

Автор: Назаров Ф.

Положительные числа a, b, c таковы, что  a ≥ b ≥ c  и  a + b + c ≤ 1.  Докажите, что  a² + 3b² + 5c² ≤ 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 34837

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Про действительные числа a, b, c известно, что  (a + b + c)c < 0.  Докажите, что  b² – 4ac > 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78472

Темы:   [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]
[ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

a1, a2, ..., an  – такие числа, что  a1 + a2 + ... + an = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение   S = a1a2 + a1a3 + ... + an–1an ≤ 0
(в сумму S входят все возможные произведения aiaj,  i ≠ j).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .