ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 42]      



Задача 111800

Тема:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Исаев М.

Числа x1, x2, ..., xn таковы, что  x1x2 ≥ ... ≥ xn ≥ 0  и     Докажите, что  

Прислать комментарий     Решение

Задача 73631

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Про пять положительных чисел известно, что если из суммы любых трёх из них вычесть сумму двух оставшихся, то разность будет положительной. Докажите, что произведение всех десяти таких разностей не превосходит квадрата произведения данных пяти чисел.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79458

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

По кругу расставлено не менее четырёх неотрицательных чисел, в сумме равных единице.
Докажите, что сумма всех попарных произведений соседних чисел не больше ¼.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111043

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Классические неравенства (прочее) ]
[ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
[ Арифметическая прогрессия ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Пусть  $x_1 \le \dots \le x_n$.  Докажите неравенство $$\bigg( \sum \limits_{i,j=1}^n |x_i-x_j|\bigg)^2 \le \frac{2 (n^2-1)}{3} \sum \limits_{i,j=1}^n (x_i-x_j)^2.$$ Докажите, что оно обращается в равенство только если числа $x_1, \dots, x_n$ образуют арифметическую прогрессию.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73753

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

  а) x1, x2, x3, x4, x5 – положительные числа. Докажите, что квадрат суммы этих чисел не меньше учетверённой суммы произведений x1x2, x2x3, x3x4, x4x5 и x5x1.
  б) При каком наибольшем cn для любых неотрицательных x1, ..., xn верно неравенство  (x1 + x2 + ... + xn)² ≥ cn(x1x2 + x2x3 + ... + xnx1)
(в правой части n слагаемых)?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 42]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .