ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      



Задача 61277

Темы:   [ Кубические многочлены ]
[ Геометрия комплексной плоскости ]
[ Теорема Виета ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Докажите, что если корни многочлена  f(x) = x³ + ax² + bx + c  образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, то многочлен
f'(x) = 3x² + 2ax + b  имеет двукратный корень, расположенный в центре этого треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61333

 [Метод Лобачевского]
Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Итерации ]
[ Теорема Виета ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Пусть многочлен  P(x) = xn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0  имеет корни  x1, x2, ..., xn,  причем  |x1| > |x2| > ... > |xn|.  В задаче  60965 был предъявлен способ построения многочлена Q(x) степени n, корнями которого являются числа     На основе этого рассуждения Лобачевский придумал метод для приближенного поиска корней многочлена P(x). Он заключается в следующем. Строится такая последовательность многочленов  P0(x), P1(x), P2(x), ...,  что  P0(x) = P(x)  и многочлен Pk(x) имеет корни     Пусть     Докажите, что

  а)  

  б)  

Прислать комментарий     Решение

Задача 61005

Темы:   [ Разложение на множители ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Теорема Виета ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Разложите на множители с действительными коэффициентами многочлены:

а) x4 + 4; ж) (a + b + c)3a3b3c3;
б) 2x3 + x2 + x – 1; з) (xy)5 + (y - z)5 + (zx)5;
в) x10 + x5 + 1; и) a8 + a6b2 + a4b4 + a2b6 + b8;
г) a3 + b3 + c3 – 3abc; к) (x2 + x + 1)2 + 3x(x2 + x + 1) + 2x2;
д) x3 + 3xy + y3 – 1; л) a4 + b4 + c4 - 2a2b2 – 2a2c2 – 2b2c2;
е) x2y2x2 + 4xyy2 + 1; м) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61143

Темы:   [ Алгебраические уравнения в C. Извлечение корня ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Теорема Виета ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Найдите все корни уравнения  (z – 1)n = (z + 1)n.
Чему равна сумма квадратов корней данного уравнения?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65736

Темы:   [ Инварианты ]
[ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Теорема Виета ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

На доске написано несколько приведённых многочленов 37-й степени, все коэффициенты которых неотрицательны. Разрешается выбрать любые два выписанных многочлена  f и g и заменить их на такие два приведённых многочлена 37-й степени  f1 и g1, что  f + g = f1 + g1  или  fg = f1g1.  Докажите, что после применения любого конечного числа таких операций не может оказаться, что каждый многочлен на доске имеет 37 различных положительных корней.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .