ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61277
Темы:    [ Кубические многочлены ]
[ Геометрия комплексной плоскости ]
[ Теорема Виета ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если корни многочлена  f(x) = x³ + ax² + bx + c  образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, то многочлен
f'(x) = 3x² + 2ax + b  имеет двукратный корень, расположенный в центре этого треугольника.


Решение

Пусть w – центр указанного треугольника, а  w + z  – один из корней. Тогда остальные корни равны  w + ωz  и  w + ω²z,  где ω – кубический корень из 1. По теореме Виета  a = – 3w,  b = (w + z)(2w + (ω + ω2)z) + (w + ωz)(w + ω2z) = (w + z)(2w – z) + (w² – wz + z2) = 3w².  Значит,  f'(x) = 3x² – 6wx + 3w² = 3(x – w)²,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 9
Название Уравнения и системы
Тема Неопределено
параграф
Номер 1
Название Уравнения третьей степени
Тема Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения
задача
Номер 09.026

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .