ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 76]      



Задача 65989

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Теорема о трех перпендикулярах ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Признаки перпендикулярности ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Все грани треугольной пирамиды SABC – остроугольные треугольники. SX и SY – высоты граней ASВ и BSС. Известно, что четырёхугольник AXYC – вписанный. Докажите, что прямые AC и BS перпендикулярны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 87223

Тема:   [ Тетраэдр (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11


В конусе расположены два одинаковых шара радиуса r, касающиеся основания конуса в точках, симметричных относительно центра основания. Каждый из шаров касается боковой поверхности конуса и другого шара. Найдите угол между образующей конуса и основанием, при которой объем конуса наименьший.

Прислать комментарий     Решение


Задача 64637

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Трехгранные и многогранные углы (прочее) ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Плоскость α пересекает рёбра AB, BC, CD и DA треугольной пирамиды ABCD в точках K, L, M и N соответственно. Оказалось, что двугранные углы
∠(KLA, KLM),  ∠(LMB, LMN),  ∠(MNC, MNK)  и  ∠(NKD, NKL)  равны. (Через  ∠(PQR, PQS)  обозначается двугранный угол при ребре PQ в тетраэдре PQRS.) Докажите, что проекции вершин A, B, C и D на плоскость α лежат на одной окружности.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65398

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Параллелограмм Вариньона ]
[ Свойства сечений ]
[ Центр масс ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

У тетраэдра ABCD сумма площадей двух граней (с общим ребром AB) равна сумме площадей оставшихся граней (с общим ребром CD). Докажите, что середины ребер BC, AD, AC и BD лежат в одной плоскости, причём эта плоскость содержит центр сферы, вписанной в тетраэдр ABCD.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66250

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Радикальная плоскость ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Ягудин М.

Дан тетраэдр ABCD. В грани ABC и ABD вписаны окружности с центрами O1, O2, касающиеся ребра AB в точках T1, T2. Плоскость πAB проходит через середину отрезка T1T2 и перпендикулярна O1O2. Аналогично определяются плоскости πAC, πBC, πAD, πBD, πCD. Докажите, что все эти шесть плоскостей проходят через одну точку.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 76]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .