ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65989
Темы:    [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Теорема о трех перпендикулярах ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Признаки перпендикулярности ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Все грани треугольной пирамиды SABC – остроугольные треугольники. SX и SY – высоты граней ASВ и BSС. Известно, что четырёхугольник AXYC – вписанный. Докажите, что прямые AC и BS перпендикулярны.


Решение 1

  Пусть H – проекция точки S на плоскость ABC, тогда по теореме о трёх перпендикулярах  HXAB  и  HYBC  (рис. слева).

  Рассмотрим треугольник ABC (рис. справа). Пусть  ∠BАH = x.  Четырёхугольник AXYC – вписанный, следовательно, и  ∠BАH = x.  Кроме того, точки X и Y лежат на окружности с диаметром BH. Значит,  ∠АВH = ∠XYH = 90° – x.  Таким образом,  ∠АВH + ∠BАH = 90°,  то есть  BHАС.  Следовательно, и  BSАС.


Решение 2

  Проведём высоту AZ в грани SAB (см. рис.). Точки X и Z лежат на окружности с диаметром AS. Значит,  BX·BA = BZ·BS.  Четырёхугольник AXYC – вписанный, поэтому  BY·BC = BX·BA = BZ·BS.

  Следовательно, точки С, Y, Z и S также лежат на одной окружности. Значит,  ∠CZS = ∠CYS = 90°.
  Таким образом,  BSZA  и  BS,  значит, прямая BS перпендикулярна плоскости AZC, поэтому  BSAC.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2016/17
класс
Класс 10
задача
Номер 10.3.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .