Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что следующие свойства тетраэдра равносильны:

1) все грани равновелики;

2) каждое ребро равно противоположному;

3) все грани равны;

4) центры описанной и вписанной сфер совпадают;

5) суммы углов при каждой вершине равны;

6) сумма плоских углов при каждой вершине равна 180^o ;

7) развёртка тетраэдра представляет собой остроугольный треугольник, в котором проведены средние линии;

8) все грани – остроугольные треугольники с одинаковым радиусом описанной окружности;

9) ортогональная проекция тетраэдра на каждую из трёх плоскостей, параллельных двум противоположным рёбрам, – прямоугольник;

10) параллелепипед, полученный в результате проведения через противоположные рёбра трёх пар параллельных плоскостей, – прямоугольный;

11) высоты тетраэдра равны;

12) точка пересечения медиан совпадает с центром описанной сферы;

13) точка пересечения медиан совпадает с центром вписанной сферы;

14) сумма плоских углов при трёх вершинах равна 180^o ;

15) сумма плоских углов при двух вершинах равна 180^o и два противоположных ребра равны.

   Решение

---

На стороне BC треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая отрезок AB в точке D. Найдите отношение площадей треугольников ABC и BCD, если известно, что AC = 15, BC = 20 и ABC = ACD.

   Решение

---

В трапеции ABCD с основаниями AB = a и CD = b проведён отрезок A₁B₁, соединяющий середины диагоналей. В полученной трапеции проведён отрезок A₂B₂, тоже соединяющий середины диагоналей, и так далее. Может ли в последовательности длин отрезков AB, A₁B₁, A₂B₂,... какое-то число встретиться дважды? Является ли эта последовательность монотонной (возрастающей или убывающей)? Стремится ли она к какому-нибудь пределу?

   Решение

---

Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что  $a^{n+1} + b^{n+1}$  делится на  $a^n+b^n$  для бесконечного множества различных натуральных $n$. Обязательно ли тогда  $a = b$?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 38]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79402

Темы:   [ Предел последовательности, сходимость ] [ Тригонометрические неравенства ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Доказать, что последовательность x_n = sin(n²) не стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61323  [Арифметико-гармоническое среднее]

Темы:   [ Средние величины ] [ Предел последовательности, сходимость ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Лемма о вложенных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Пусть a и b – два положительных числа, и  a < b.  Определим две последовательности чисел {a_n} и {b_n} формулами:

  а) Докажите, что обе эти последовательности имеют общий предел.
Этот предел называется арифметико-гармоническим средним чисел a и b.
  б) Докажите, что этот предел совпадает со средним геометрическим чисел a и b.
  в) Пусть  a = 1,  b = k.  Как последовательность {b_n} связана с последовательностью {x_n} из задачи 61299?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61324  [Геометрико-гармоническое среднее]

Темы:   [ Средние величины ] [ Предел последовательности, сходимость ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Назовём геометрико-гармоническим средним чисел a и b общий предел последовательностей {a_n} и {b_n}, построенных по правилу

Обозначим его через  ν(a, b).  Докажите, что величина  ν(a, b)  связана с  μ(a, b)  (см. задачу 61322) равенством  ν(a, b)·μ(¹/_a, ¹/_b) = 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66741

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Предел последовательности, сходимость ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что  $a^{n+1} + b^{n+1}$  делится на  $a^n+b^n$  для бесконечного множества различных натуральных $n$. Обязательно ли тогда  $a = b$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61302

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Предел последовательности, сходимость ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Старый калькулятор I. а) Предположим, что мы хотим найти (x > 0) на калькуляторе, который кроме четырех обычных арифметических действий умеет находить . Рассмотрим следующий алгоритм. Строится последовательность чисел {y_n}, в которой y₀ — произвольное положительное число, например, y₀ = , а остальные элементы определяются соотношением

Докажите, что

б) Постройте аналогичный алгоритм для вычисления корня пятой степени.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 38]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями