Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дано уравнение  xⁿ – a₁x^n–1 – a₂x^n–2 – ... – a_n–1x – a_n = 0,  где  a₁ ≥ 0,  a₂ ≥ 0,  a_n ≥ 0.
Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

   Решение

---

Постройте окружность, которая проходила бы через две данные точки и центр которой находился бы на данной прямой.

   Решение

---

Перпендикуляры, опущенные из внутренней точки равностороннего треугольника на его стороны, и отрезки, соединяющие эту точку с вершинами, разбивают треугольник на шесть прямоугольных треугольников. Докажите, что сумма площадей трёх из них, взятых через один, равна сумме площадей трёх остальных.

   Решение

---

В небольшом шотландском городке стояла школа, в которой учились ровно 1000 школьников. У каждого из них был шкаф для одежды – всего 1000 шкафов, причём шкафы были пронумерованы числами о 1 до 1000. А ещё в этой школе жили привидения – ровно 1000 привидений. Каждый школьник, уходя из школы, запирал свой шкаф, а ночью привидения начинали играть со шкафами, то отпирая, то запирая их. Однажды вечером школьники, как обычно, оставили запертыми все шкафы. Ровно в полночь появились привидения. Сначала первое привидение открыло все шкафы; потом второе привидение закрыло те шкафы, номер которых делился на 2; затем третье привидение поменяло позиции (то есть открыло шкаф, если он был закрыт, и закрыло – если он был открыт) тех шкафов, номер которых делился на 3; следом за ним четвёртое привидение поменяло позиции тех шкафов, номер которых делился на 4 и т.д. Как только тысячное привидение поменяло позицию тысячного шкафа, пропел петух, и все привидения срочно убрались восвояси. Не скажете ли вы, сколько осталось открытых шкафов после посещения привидений?

   Решение

---

Докажите неравенства:
  а)  x⁴ + y⁴ + z⁴ ≥ x²yz + xy²z + xyz²;
  б)  x³ + y³ + z³ ≥ 3xyz;
  в)  x⁴ + y⁴ + z⁴ + t⁴ ≥ 4xyzt;
  г)   x⁵ + y⁵ ≥ x³y² + x²y³.
Значения переменных считаются положительными.

   Решение

---

Докажите, что равенство  4p³ + 27q² = 0  является необходимым и достаточным условием для совпадения по крайней мере двух корней уравнения
x³ + px + q = 0.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61030

Темы:   [ Симметрические многочлены ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Выразите через элементарные симметрические многочлены следующие выражения:
  а}  (x + y)(y + z)(x + z);
  б}  x³ + y³ + z³ – 3xyz;
  в}  x³ + y³;
  г)  (x² + y²)(y² + z²)(x² + z²);
  д)  
  е)  x⁴ + y⁴ + z⁴.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61036

Темы:   [ Симметрические многочлены ] [ Теорема Виета ] [ Кубические многочлены ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Известно, что x₁, x₂, x₃ – корни уравнения  x³ – 2x² + x + 1 = 0.
Составьте новое уравнение, корнями которого были бы числа  y₁ = x₂x₃,  y₂ = x₁x₃,  y₃ = x₁x₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61042

Темы:   [ Симметрические многочлены ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Известно, что целые числа a, b, c удовлетворяют равенству  a + b + c = 0.  Докажите, что  2a⁴ + 2b⁴ + 2c⁴  – квадрат целого числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61268  [Дискриминант кубического уравнения]

Темы:   [ Кубические многочлены ] [ Теорема Виета ] [ Симметрические многочлены ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Пусть уравнение  x³ + px + q = 0  имеет корни x₁, x₂ и x₃. Выразите через p и q дискриминант этого уравнения   D = (x₁ – x₂)²(x² – x₃)²(x₃ – x₁)².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61269

Темы:   [ Кубические многочлены ] [ Теорема Виета ] [ Симметрические многочлены ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Докажите, что равенство  4p³ + 27q² = 0  является необходимым и достаточным условием для совпадения по крайней мере двух корней уравнения
x³ + px + q = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями