ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61042
Темы:    [ Симметрические многочлены ]
[ Теорема Виета ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Известно, что целые числа a, b, c удовлетворяют равенству  a + b + c = 0.  Докажите, что  2a4 + 2b4 + 2c4  – квадрат целого числа.


Решение

a, b, c – корни кубического уравнения  x3 + px + q = 0,  которые удовлетворяют и равенству  x4 = – px2qx.  Поэтому
2a4 + 2b4 + 2c4 = – 2p(a2 + b2 + c2) – 6q(a + b + c) = 4p(ab + ac + bc) = 4p2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 6
Название Многочлены
Тема Многочлены
параграф
Номер 5
Название Теорема Виета
Тема Неизвестная тема
задача
Номер 06.119

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .