Пете и Коле выдали две одинаковые фигуры, вырезанные из клетчатой бумаги. Известно, что в каждой фигуре меньше, чем 16 клеток. Петя разрезал свою фигуру на части из четырех клеток (см. рисунок слева), а Коля разрезал свою фигуру на уголки из трех клеток (см. рисунок справа). Приведите пример фигуры, которую могли выдать мальчикам. Покажите, как эту фигуру разрезал на части Петя, и как ее разрезал Коля.

   Решение

В треугольник ABC со сторонами  AB = 5,  BC = 7,  CA = 10  вписана окружность. Прямая, пересекающая стороны AB и BC в точках M и K, касается этой окружности. Найдите периметр треугольника MBK.

   Решение

Продолжения сторон AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K. Известно, что  AD = BC.  Пусть M и N – середины сторон AB и CD. Докажите, что треугольник MNK тупоугольный.

   Решение

В тетраэдр ABCD вписана сфера с центром O, касающаяся его граней BCD, ACD, ABD и ABC в точках A₁, B₁, C₁ и D₁ соответственно.
  а) Пусть P_a – такая точка, что точки, симметричные ей относительно прямых OB, OC и OD, лежат в плоскости BCD. Точки P_b, P_c и P_d определяются аналогично. Докажите, что прямые A₁P_a, B₁P_b, C₁P_c и D₁P_d пересекаются в некоторой точке P.
  б) Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр A₁B₁C₁D₁;  A₂ – точка пересечения прямой A₁I с плоскостью B₁C₁D₁;  B₂, C₂, D₂ определены аналогично. Докажите, что P лежит внутри тетраэдра A₂B₂C₂D₂.

   Решение

Найдите какой-нибудь многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число   + .

   Решение

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит биссектрису одного из острых углов на отрезки, отношение которых равно
3 + 2,  считая от вершины. Найдите острые углы треугольника.

   Решение

Доказать, что если в треугольнике ABC со стороной  BC = 1  радиус r_a вневписанной окружности вдвое больше радиуса r вписанной окружности, то площадь треугольника численно равна 2r.

   Решение

В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся его сторон в точках  A₁, B₁, C₁. Докажите, что если треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, то треугольник ABC правильный.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 295]      

Докажите, что если точка пересечения высот остроугольного треугольника делит высоты в одном и том же отношении, то треугольник правильный.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что если  a + h_a = b + h_b = c + h_c, то треугольник ABC правильный.
б) В треугольник ABC вписаны три квадрата: у одного две вершины лежат на стороне AC, у другого — на BC, у третьего — на AB. Докажите, что если все три квадрата равны, то треугольник ABC правильный.

Прислать комментарий

Решение

В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся его сторон в точках  A₁, B₁, C₁. Докажите, что если треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, то треугольник ABC правильный.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах правильного треугольника ABC как на основаниях внутренним образом построены равнобедренные треугольники  A₁BC, AB₁C и ABC₁ с углами α, β и γ при основаниях, причём  α + β + γ = 60°.  Прямые BC₁ и B₁C пересекаются в точке A₂, AC₁ и A₁C – в точке B₂, AB₁ и A₁B – в точке C₂. Докажите, что углы треугольника A₂B₂C₂ равны 3α, 3β и 3γ.

Прислать комментарий

Решение

Правильный треугольник со стороной 1 разрезан произвольным образом на равносторонние треугольники, в каждый из которых вписан круг.
Найдите сумму площадей этих кругов.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 295]