ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56862
Тема:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 3
Классы: 8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся его сторон в точках  A1, B1, C1. Докажите, что если треугольники ABC и A1B1C1 подобны, то треугольник ABC правильный.

Решение

Если  $ \alpha$,$ \beta$ и $ \gamma$ — углы треугольника ABC, то углы треугольника A1B1C1 равны  ($ \beta$ + $ \gamma$)/2,($ \gamma$ + $ \alpha$)/2 и  ($ \alpha$ + $ \beta$)/2. Пусть для определенности  $ \alpha$ $ \geq$ $ \beta$ $ \geq$ $ \gamma$. Тогда  ($ \alpha$ + $ \beta$)/2 $ \geq$ ($ \alpha$ + $ \gamma$)/2 $ \geq$ ($ \beta$ + $ \gamma$)/2. Следовательно,  $ \alpha$ = ($ \alpha$ + $ \beta$)/2 и  $ \gamma$ = ($ \beta$ + $ \gamma$)/2, т. е.  $ \alpha$ = $ \beta$ и  $ \beta$ = $ \gamma$.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 3
Название Правильный треугольник
Тема Правильный (равносторонний) треугольник
задача
Номер 05.028

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .