Задача 64901

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Отношения площадей подобных фигур ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Правильный треугольник со стороной 1 разрезан произвольным образом на равносторонние треугольники, в каждый из которых вписан круг.
Найдите сумму площадей этих кругов.

Решение

Так как все правильные треугольники подобны, то у них отношение площади вписанного круга к площади треугольника одно и то же. Так как сумма площадей частей равна площади исходного треугольника, то и сумма площадей вписанных в них кругов равна площади круга, вписанного в исходный треугольник. Радиус круга, вписанного в данный треугольник, равен  ,  а его площадь равна  

Ответ

^π/_12.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2014/15
класс
Класс	11
задача
Номер	11.5.2