Докажите, что при умножении многочлена  (x + 1)^n–1  на любой многочлен, отличный от нуля, получается многочлен, имеющий не менее n отличных от нуля коэффициентов.

   Решение

24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица размером 24×25, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что
  а) можно отметить некоторые задачи "галочкой" так, что каждый из студентов решил чётное число (в частности, может быть, нуль) отмеченных задач;
  б) можно отметить некоторые из задач знаком "+", а некоторые из остальных – знаком "–" и приписать каждой задаче некоторое натуральное число баллов так, чтобы каждый студент набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками "+" и "–".

   Решение

В треугольник вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины — на боковых сторонах треугольника. Доказать, что сторона квадрата меньше 2r, но больше r, где r — радиус окружности, вписанной в треугольник.

   Решение

Ювелиру заказали золотое кольцо шириной h, имеющее форму тела, ограниченного поверхностью шара с центром О и поверхностью цилиндра радиусом r, ось которого проходит через точку О. Мастер сделал такое колечко, но выбрал r слишком маленьким. Сколько золота ему придётся добавить, если r нужно увеличить в k раз, а ширину h оставить прежней?

   Решение

Рассматриваются всевозможные параллелепипеды с четырьмя рёбрами длины 4 и остальными рёбрами длины 3, в которые можно вписать шар. Найдите максимальное значение радиуса этих шаров.

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 133]      

Все грани призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ касаются некоторого шара. Основанием призмы служит ромб ABCD. Угол B₁BC ─ острый,

∠B₁BA = arctg

5 √ 3

, ∠ABC =

π 3

, а AB =

5√ 2 3

. Найдите ∠B₁BC, угол между боковым ребром и плоскостью основания призмы, а также

расстояние от точки B до точки касания шара с плоскостью D₁DC.

Прислать комментарий

Решение

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 боковое ребро равно , сторона основания ABCD призмы равна 6. Окружность основания конуса вписана в треугольник BC1D , а вершина конуса лежит в плоскости ABC1 . Найдите объём конуса.

Прислать комментарий

Решение

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания ABCD равна 2, боковое ребро равно . Основание конуса вписано в треугольник AB1D1 , а вершина конуса лежит в плоскости AB1C1 . Найдите объём конуса.

Прислать комментарий

Решение

Рассматриваются всевозможные параллелепипеды с четырьмя рёбрами длины 3 и остальными рёбрами длины 2, в которые можно вписать шар. Найдите максимальное значение радиуса этих шаров.

Прислать комментарий

Решение

Рассматриваются всевозможные параллелепипеды с четырьмя рёбрами длины 4 и остальными рёбрами длины 3, в которые можно вписать шар. Найдите максимальное значение радиуса этих шаров.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 133]