Задача 111183

Темы:    [ Cфера, вписанная в призму ] [ Задачи на максимум и минимум (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Рассматриваются всевозможные параллелепипеды с четырьмя рёбрами длины 3 и остальными рёбрами длины 2, в которые можно вписать шар. Найдите максимальное значение радиуса этих шаров.

Решение

Пусть ABCDA1B1C1D1 – данный параллелепипед. Поскольку восемь его рёбер равны 2, две его противоположные грани – ромбы со стороной 2. Пусть это грани ABCD и A1B1C1D1 . Тогда AA1=BB1=CC1= DD1 = 3 . Обозначим BAD = α , BAA1 = β , DAA1=γ . Если в параллелепиипед можно вписать сферу, то все его грани равновелики, т.к. их площади равны отношению объёма к высоте, а все высоты равны диаметру вписанной сферы. Поэтому S_ABB1A1 = S_ABCD и S_ADD1A1 = S_ABCD , или

2· 3 sin β = 2· 2 sin α, 2· 3 sin γ = 2· 2 sin α,
откуда находим, что sin β = sin γ . Это возможно, если либо β = γ , либо β + γ = 180^o , значит, | cos β| = | cos γ| . Кроме того, sin β = sin α , поэтому
cos2 β = 1- sin2 β = 1- sin2 α = (5+4 cos2 α).
Пусть K , M и H – проекции точки A1 на прямые AB , AD и плоскость основания ABCD соответственно. Из прямоугольных треугольников AKA1 и AMA1 находим, что
AK = AA1| cos β| = 3| cos β|, AM = AA1| cos γ| = 3| cos β|.
По теореме косинусов
KM = = =

=3| cos β|.
По теореме о трёх перпендикулярах HK AB и HM AD . Из точек K и M отрезок AH виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AH . По теореме синусов KM = AH sin α , поэтому
AH = = .
Пусть r – радиус сферы, вписанной в параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AHA1 находим, что
2r = A1H = = =

=3= 3=

= 3= 3= 3=

=3= 3=

=3= 3.
Из неравенства
+ cos2 2 = ,
следует, что
2r = A1H 3 = 1,
причём равенство достигается, если = cos2 , т.е. при cos = , = 30^o , α = 60^o . Таким образом, максимальное значение радиуов таких шаров равно . В этом случае sin β = sin α = · = . Следовательно, такой параллелепипед существует.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8845