Задача 111149

Темы:    [ Правильная призма ] [ Конус ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 боковое ребро равно , сторона основания ABCD призмы равна 6. Окружность основания конуса вписана в треугольник BC1D , а вершина конуса лежит в плоскости ABC1 . Найдите объём конуса.

Решение

Пусть O – центр основания конуса, т.е. центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник BC1D со сторонами

DC1= BC1 = = = = 5,

BD = AB = 6,
Q – центр квадрата ABCD , т.е. середина BD . Тогда
C1O = = = = = 4.
Если r – радиус окружности, p – полупериметр треугольника BC1D , а S – его площадь, то
r= = = = .
Поскольку A и C1 – общие точки плоскостей ABC1 и BDC1 , эти плоскости пересекаются по прямой AC1 . В плоскости BC1D восставим перпендикуляр к C1Q из точки O . Пусть P – точка пересечения этого перпендикуляра с прямой AC1 . Прямая BD перпендикулярна пересекающимся прямым AC и CC1 плоскости ACC1 , значит, OP BQ , а т.к. OP QC1 , то прямая OP перпендикулярна плоскости BC1D , т.е. PO – высота конуса. Рассмотрим треугольник ACC1 . Обозначим AC1C = α , QC1C = β . Тогда
tg α = = = , tg β = = = .
Тогда
tg AC1Q = tg (α - β) = = = .
Из прямоугольного треугольника OPC1 находим, что
PO = OC1 tg OPC1 = (C1Q-OQ) tg (α - β) = (4-)· =

=· = .
Следовательно, если V – объём конуса, то
V = π r2· OP = π ()2· = π.

Ответ

π .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8771